Question

【高分】已知x,y是正实数，求证：1/x+1/y大于等于4/(x+y)

Answer 1

分析法
即证1/x+1/y>=4/(x+y)
两边同乘xy(x+y)即证：y(x+y)+x(x+y)>=4xy
即证y^2+2xy+x^2>=4xy
即证(x-y)^2>=0
显然成立。

追问

谢谢，可否用均值定理求

追答

当然可以了，很简单的调和均值小于等于算术均值
2/[(1/x)+(1/y)]=4/(x+y)
还有一种均值定理的方法：
(1/x+1/y)(x+y)
=1+x/y+y/x+1
=2+x/y+y/x>=2+2=4
所以1/x+1/y>=4/(x+y)

Answer 2

用分析法：
要证1/x+1/y≥4/(x+y)
必证y(x+y)+x(x+y)≥4xy
必证x^2+y^2≥2xy
必证x^2+y^2-2xy≥0
必证（x-y)^2≥0
因为（x-y)^2≥0恒成立
所以原不等式成立

希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！

追问

谢谢，可否用均值定理求

追答

1/x+1/y=（x+y)/xy
因x+y≥2√(xy)
所以有xy≤(x+y)^2/4
1/xy≥4/(x+y)^2
(x+y)/xy≥4/(x+y)
即
1/x+1/y≥4/(x+y)
证毕

Answer 3

x+y=1（把下式子中分数的分子为1的换成x+y,进行拆项)
(1+1/x)(1+1/y)
=【1＋（x+y)/x】【1+(x+y)/y】
＝(2+y/x)(2+x/y)
=4+2x/y+2y/x+1
=5+2x/y+2y/x≥5+2√4=9
（当且仅当，x=y=1/2,等号成立）