Question

定义在R上的函数f（x）对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f(x)+f(y)-1,且x＞0时，f（x）＞1.

求证：1.f（x）是R上的增函数
2.函数g（x）=f（x）-1， x∈R是奇函数

过程，你懂得

Answer 1

（1）f(x+y)=f(x)+f(y)-1
f(x+y)-f(x)=f(y)-1
设x1>x2
则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
因为 x1-x2>0,f(x1-x2)>1
所以 f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以 f(x)是增函数
(2) g(x)=f(x)-1
f（x+y）=f(x)+f(y)-1
f(0)=f(0)+f(0)-1 所以 f(0)=1
f(0)=f(x)+f(-x)-1
1=f(x)+f(-x)-1
f(x)-1=-[f(-x)-1]
即g(x)=-g(-x)
所以 g(x)是奇函数