Question

求下列函数的值域。 要详细解答。

（1）f（x）=2\x
（2）f（x）=-2x+3，x∈{x∈Z|-2≤x≤4}
（3）f（x）=x²+x-1
（4）f（x）=x²+4x+5，x∈[-3,1]

Answer 1

（1）f（x）=2\x
值域为{y|y≠0}
（2）f（x）=-2x+3，x∈{x∈Z|-2≤x≤4}
函数在x∈{x∈Z|-2≤x≤4}是减函数
所以最大值为f(-2)=7,最小值为f(4)=-5
故函数的值域为[-5,7]；
（3）f（x）=x²+x-1
配方 f（x）=x²+x-1=(x+1/2)²-5/4
而(x+1/2)²≥0
所以 (x+1/2)²-5/4≥-5/4
故 函数的值域为{y|y≥-5/4}；
（4）f（x）=x²+4x+5，x∈[-3,1]
配方 f（x）=x²+4x+5=(x+2)²+1
当x∈[-3,1]
f(x)的最小值为f(-2)=1
最大值为f(1)=10
所以函数的值域为
[1,10]

Answer 2

（1）由函数图象可知值域为﹙-∞,0）∪（0，+∞）
（2）∵是一次函数所以-5=f(4)≤f(x)≤f(-2)=7 ∴值域为[-5,7]
(3)∵是开口向上的二次函数 ∴f(x)≥f(-b/2a)=f(-1/2)=-5/4 ∴值域为[-5/4，+∞)
(4))∵是开口向上的二次函数 -b/2a=-2 ∴1=f(-2)≤f(x)≤f(1)=10 ∴值域为[1,10]

Answer 3

(1)（﹣∞，0）∪﹙0，+∞﹚：由定义域推出值域
(2)﹛﹣5﹜∪﹛﹣3﹜∪﹛﹣1﹜∪﹛1﹜∪﹛3﹜∪﹛5﹜∪﹛7﹜：同上
(3)[﹣5/4,+∞)：f(x)=﹙x+½﹚²-5/4
(4)[1，10]：f（x）=(x+2)²+1，图像开口向上，最小值为f(-2)=1，最大值为f(1)=10