Question

高中幂函数题

设f(x)=x+a/x(x>0),a∈R
(1)判断f(x)在（0,+∞）上的增减性，并证明
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)最小值

Answer 1

(1)
求导得f'=1-a/(x^2)
若a<=0,则f'>0恒成立，在（0,+∞）上单调增；
若a﹥0,则
f'>0,函数单调递增，则求得单调递增区间为(-∞,-√a)，(√a,+∞)
f'<=0，函数单调递减，求得单调递减区间为(-√a,√a)
（0,+∞）∈(-√a,√a)，所以在（0,+∞）上单调减。
(2)
当[1,2]∈(-√a,√a)，即a>4,f(x)单调减，所以f(x)最小值为f(2)=2+a/2
当[1,2]∈(√a,+∞),即a<1,f(x)单调增，所以f(x)最小值为f(1)=1+a

追问

为什么是f'=1-a/(x^2)？两边除以x吗？那不是应该f'=1+a/(x^2)？

追答

你没学导数呢？﹙1／x﹚的导数不是﹣1／x²嘛,x的导数为1
那1＋a/x求导不就是1﹣a／x²

追问

不晓得导数┑(￣。。￣)┍

追答

额。。。好吧。。。
那你就用上面人介绍的那个设x1，x2的方法吧
说实话，学完导数后，解决这个问题挺方便的，高二时会学的。
那方法懒得用，挺烦的，我也好久没用生疏了。
你就再试试那个吧，不好意思啦。

Answer 2

1，有最基本的增减性判断法：取很近的两个点x1<x2，(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)=1-a/x1*x2l，由于x1,x2相差不大，可近似认为相等，则原式=1-a/x^2，就是x点处的斜率，当x>根号a,增，x<根号a,减。
最小值显然在x=根号a处，然而规定了x的范围，因此要将a分区间讨论，在(负无穷，1]，[1,4],[4,正无穷]上进行讨论，求最小值。

追问

a有根号那a要大于等于0吗

追答

不是，根号a在过程中出现，如果a小于零，显然斜率一直大于零，就变成有增无减了，这药分情况讨论的

Answer 3

好复杂