Question

设f(x)在[a,b]上连续,且a<c<d<b,证明:对任何整数p,q至少存在一点ζ∈(a,b),使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ)

设f(x)在[a,b]上连续,且a<c<d<b,证明:对任何整数p,q至少存在一点ζ∈(a,b),使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ)

Answer 1

本题是对于任何正整数p,q,否则有问题.
构造函数g(x)=pf(c)+qf(d)-(p+q)f(x).
当f(c)=f(d)时,g(c)=0,所以存在一点ζ=c,使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).
当f(c)≠f(d)时,g(c)g(d)=pq(f(c)-f(d))(f(d)-f(c))<0.所以函数g(x)至少存在一点ζ∈(a,b),使得g(ζ)=0. 即至少存在一点ζ∈(a,b),使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).

Answer 2

df df df sd d