Question

已知集合A=｛x｜x^2-ax+a^2-19=0｝，B=｛x｜x^2-5x+6=0｝，C=｛x｜x^2+2x-8=0｝

（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值
（2）空集真包含于A∩B，A∩C=空集，求实数a的值。
详细过程

Answer 1

∵A=｛x｜x^2-ax+a^2-19=0｝，B=｛x｜x^2-5x+6=0｝
又∵x^2-5x+6=（x-2)(x-3)=0
∴B={2,3}
又∵A∩B=A∪B可知A中一定含有2,3
∴2^2-2a+a^2-19=0 3^2-3a+a^2-19=0
∴a=-3或a=5或a=-2
(2)∵空集真包含于A∩B，A∩C=空集
∴A∩B≠Φ
x^2+2x-8=（x-2)(x+4)=0
∴C={2，-4}
∴A中一定不含有2，-4 一定含有3
∴ 3^2-3a+a^2-19=0
∴a=-2或a=5
代入检验得：a=-2

Answer 2

首先，B={x/x^2-5x+6=0}={x|(x-2)×(x-3)=0}={2,3},C={x/x^2+2x-8=0}={x|(x+4)×(x-2)=0}={-4,2};
然后，要使A与B的交集不是空集和A与C的交集是空集同时成立，则3属于A而-4和2不属于A。
将x=3带入x^2-ax+a^2-19=0得a^2-3a-10=0,则a=5或-2。当a=5时，A={x/x^2-5x+6=0}=B包含了2所以不满足题意;当a=-2时，A={x/x^2+2x-15=0}={x|(x+5)×(x-3)=0}={-5，3}满足题意。
综上所述，a=-2时满足题意