Question

AD是三角形ABC中线,BE交AC于点E,交AD与点F,且AE等于EF。求证AC等于BF

Answer 1

延长AD至G,使DG=AD. 连接BG.
已知BD=DC, DG=AD， ∠ADC=∠BDG,所以△ADC≌△BDG,
得AC=BG, ∠CAD=∠BGD.
已知AE=EF，故∠EAF=∠EFA.
另有∠EFA=∠BFG,
所以∠BFG=∠BGF,得BF=BG, 已证AC=BG，
从而证得：AC=BF。

Answer 2

过C，F点做CP，FP分别平行AD，AC，CP、FP交于P，
AD延长线交BP于Q
AE=EF，FP‖AC
所以有∠CAQ=∠AFE=∠QFP=∠BFQ
CP‖AD，D为BC中点
所以Q为BP中点，BQ=QP，
FQ为公共边
△BFQ≌△FPQ
所以BF=FP，
ACPF为平行四边形，AC=FP
所以BF=AC

Answer 3

延长AD至G,使DG=AD. 连接BG.
已知BD=DC, DG=AD， ∠ADC=∠BDG,所以△ADC≌△BDG,
得AC=BG, ∠CAD=∠BGD.
已知AE=EF，故∠EAF=∠EFA.
另有∠EFA=∠BFG,
所以∠BFG=∠BGF,得BF=BG, 已证AC=BG，
从而证得：AC=BF。