Question

数学大侠，线性代数里，为什么只有实对称矩阵才能使用斯密特正交化，而非实对称矩阵不需要斯密特正交化。

不好意思，分就这么多了，没分了，希望各位数学大侠相助。

Answer 1

因为如果一个矩阵能够通过正交矩阵变换正交化一定可以写成PDP^-1=PDP^t
因此这个矩阵的转置 (PDP^t)^t=(P^t)^t D^t P^t=PDP^t是它自己，因此有实对称矩阵才能使用斯密特正交化。
而对于非实对称矩阵不需要斯密特正交化，但可以通过酉矩阵使之正交化，但对角矩阵中对角元不是实数。

追问

真诚请教高手！
非实对称矩阵在可以相似对角化的前提下，由非线性相关的特征向量构成的p是否一定可以完成对角化？在书本中对此方法并没有加前提，似乎是针对一般可对角化矩阵。若如此，是否可将实对称矩阵作为一般矩阵的特殊情况对待。这样，对是对称矩阵就似乎有两种理解，1是采用一般矩阵的方法2是正交矩阵的方法。

追答

非实对称矩阵不一定能够对角化，如果对应相同本征值（代数简并数）的本征矢量简并，不能张开成与本征值个数一样的空间，则无法对角化，可以相似于Jordan形式。
这种情况发生是很偶然的，在无穷小的微扰下（这个矩阵作微小改变）就打破了这种情形，因此在数值计算中不会出现，因为计算机的舍入误差会起到微扰作用。
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对是对称矩阵就似乎有两种理解，1是采用一般矩阵的方法2是正交矩阵的方法。
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对的。
但是殊途同归。