Question

在平面直角坐标系中，已知O坐标原点。点A（3. 0），B（0.4）以点A为旋转中心，把三角ABO顺时针旋转，

得三角形ACD,记旋转角为α，∠ABO为β。
（I）当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（II）当旋转后满足BC//x轴时求α与β之间的数量关系（III）当旋转后满足∠AOD=β时求直线CD的解析式
把△ABO顺时针旋转

Answer 1

1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，

∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB= =5，

根据题意，有DA=OA=3．

如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，

则MD∥OB，

∴△ADM∽△ABO．有 ，AD/AB=AM/AO=DM/BO

得AM=9/5 ，

∴OM=6/5，

∴ MD=12/5

∴点D的坐标为（6/5，12/5 ）．

（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴在△ABC中，

∴α=180°-2∠ABC，

∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，

∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，

∴α=2β；

（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，

∵∠AOD=∠ABO=β，

∴tan∠AOD=DE/OE= 3/4，

设DE=3x，OE=4x，

则AE=3-4x，

在Rt△ADE中，AD方=AE方+DE方，

∴9=9x方+（3-4x）方，

∴x=24/25，

∴D（96/25，72/25 ），

∴直线AD的解析式为：y= 24/7x-72/7 ，

∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，

∴设y=- 7/24x+b，

则b=4，

∴直线CD的解析式为y=- 7/24+4，

若顺时针旋转，则可得直线CD的解析式为y= 7/24x-4

∴直线CD的解析式为y=- 7/24x+4或y= 7/24x-4．

追问

为什么∴设y=- 7/24x+b，

追答

因为yAD=24/7x-72/7
直线CD与直线AD垂直
所以yCD的k=yAD的k的负倒数。

Answer 2

意思是B旋转后的点是C，O旋转后的点是D？
已知AB＝（-3,4），AO=(3,0). 所以|AB|=5,|AO|=3，设顺时针旋转角为α，所以得到AC＝5(cosα,-sinα),AD=3(cosα,-sinα)
(1):如果D落在AB边上，即AD平行于AB，-cosα=-3sinα/4，由此可求出tanα=4/3,可得sinα=4/5(或-4/5), cosα=3/5(或-3/5)，所以AD=3(3/5,-4/5)（或3(-3/5,4/5)），由此可得到D点的坐标（略）
(2)BC平行于x轴，则有BC=(5cosα+3,-5sinα-4)，如果平行于x轴，-5sinα-4=0, sinα=-4/5。而cosβ=4/5，所以α=-(pi/2-β)+2k pi（或3pi/2-β+2k pi），其中k为整数。
(3)OD=(3cosα-3,-3sinα)。所以 -tanβ=-3sinα/(3cosα-3)，所以可求出sinα,cosα，从而求出D点的坐标，最后得到CD的解析式

Answer 3

解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√（OA^2+OB^2）=5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有 AD/AB=AM/AO=DM/BO，
得 AM=AD/AB•AO=3/5×3=9/5，
∴OM= 6/5，
∴ MD=12/5，
∴点D的坐标为（ 6/5， 12/5）．
（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；

（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD=DE/OE=tan∠ABO= 3/4，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=3-4x，
在Rt△ADE中，AD^2=AE^2+DE^2，
∴9=9x^2+（3-4x）^2，
∴x= 24/25，
∴D（ 96/25， 72/25），
∴直线AD的解析式为：y= 24/7x- 72/7，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=- 7/24x+b，
则b=4，
∴直线CD的解析式为y=- 7/24x+4，
若逆时针旋转，则可得直线CD的解析式为y= 7/24x-4．
∴直线CD的解析式为y=- 7/24x+4或y= 7/24x-4

Answer 4

（1）过点D作DM⊥x轴于点M，求证△ADM∽△ABO，根据相似比求AM的长度，推出OM和MD的长度即可；
（2）根据等腰三角形的性质，推出α=180°-2∠ABC，结合已知条件推出∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，即α=2β；
（3）做过点D作DM⊥x轴于点M，根据勾股定理和△OAB∽△OMD，推出D点的横坐标和纵坐标，然后求出C点坐标，就很容易得到CD的解析式了．解答：解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB= OA2+OB2=5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有 ADAB=AMAO=DMBO，
得 AM=ADAB•AO=35×3=95，
∴OM= 65，
∴ MD=125，
∴点D的坐标为（ 65， 125）．
（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；

（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD= DEOE= 34，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=3-4x，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴9=9x2+（3-4x）2，
∴x= 2425，
∴D（ 9625， 7225），
∴直线AD的解析式为：y= 247x- 727，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=- 724x+b，
则b=4，
∴直线CD的解析式为y=- 724x+4，
若顺时针旋转，则可得直线CD的解析式为y= 724x-4．
∴直线CD的解析式为y=- 724x+4或y= 724x-4．

Answer 5

（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√（OA^2+OB^2）=5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有 AD/AB=AM/AO=DM/BO，
得 AM=AD/AB•AO=3/5×3=9/5，
∴OM= 6/5，
∴ MD=12/5，
∴点D的坐标为（ 6/5， 12/5）．
（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；

（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD=DE/OE=tan∠ABO= 3/4，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=3-4x，
在Rt△ADE中，AD^2=AE^2+DE^2，
∴9=9x^2+（3-4x）^2，
∴x= 24/25，
∴D（ 96/25， 72/25），
∴直线AD的解析式为：y= 24/7x- 72/7，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=- 7/24x+b，
则b=4，
∴直线CD的解析式为y=- 7/24x+4，
若逆时针旋转，则可得直线CD的解析式为y= 7/24x-4．
∴直线CD的解析式为y=- 7/24x+4或y= 7/24x-4