Question

已知f(x)=-x^2+ax-a/4+1/2,x∈[0,1],求f(x)最大值g(a),且求g(a)的最小值。

详解

Answer 1

f(x)=-x^2+ax-a/4+1/2=-（x-a/2)^2+1/4[(a-1/2)^2+4/7]，x∈[0,1],
分析：1/4[(a-1/2)^2+4/7]>0,抛物线开口朝下，那么可分1) a>=2; 2) 0<a<2; 3) a<=0这3种情况讨论。

解：
1) a>=2
显然，最大值g(a)在x=1处取得，
此时，g(a)=3/4a-1/2, 因为a>2，
所以，g(a)的最小值为1，在a=2时取得。
2)0<a<2
显然，最大值g(a)在x=a/2处取得，
此时，g(a)=1/4[(a-1/2)^2+7/4]， 因为0<a<2,
所以，g(a)的最小值为7/16，在a=1/2时取得。
2)a<=0
显然，最大值g(a)在x=0处取得，
此时，g(a)=-1/4a+1/2， 因为a<=0,
所以，g(a)的最小值为1/2，在a=0时取得。