Question

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时，f(x)>1且对任意的a,b∈R有f(a+b

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时，f(x)>1且对任意的a,b∈R有f(a+b)=f(a)*f(b)（1）求f(0)（2）证明对任意的x∈R恒有f(x)>0（3）判断函数y=f(x)的单调性

Answer 1

(1) f(a+b)=f(a)*f(b)
令a=2,b=0
f(2)=f(2)*f(0)
f(2)≠0
f(0)=1
(2)x>0,f(x)>0
x=0,f(x)>0
x<0时，-x>0
f(0)=f(x)*f(-x)
因为f(-x)>0,f(0)>0
所以 f(x)>0
所以 ，对任意的x∈R恒有f(x)>0
（3）设x1<x2
f(a+b)=f(a)*f(b)
令a+b=x2,a=x1,则b=x2-x1>0
f(x2)=f(x1)*f(x2-x1)
f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)>1
由（2）f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
f(x)在R上是增函数

Answer 2

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