Question

如图,已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F。

当O为AB中点时，求证OF=1/2BE

Answer 1

证明：∵BD=CD，
∴∠BCD=∠1；
∵∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2；
∴CD∥AB．
∵CD∥AB，∴∠CDA=∠3．
∵∠BCD=∠2=∠3，
∴BE=AE．
且∠CDA=∠BCD，
∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中，
∵DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE．
∴△BDE≌△ACE；
∵△BDE≌△ACE，
∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH；
又∵CH⊥AB，
∴∠2=90°-∠BCH；
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，
∴AF=CF；
∵∠AEC=90°-∠4，∠ECF=90°-∠ACH，
又∵∠ACH=∠4，
∴∠AEC=∠ECF；
∴CF=EF；
∴EF=AF；
∵O为AB中点，
∴OF为△ABE的中位线；
∴OF=1 2 BE．

Answer 2

∵∠ADB=90°又∠1=∠2=∠3
∴∠1=∠2=∠3=30
∵ BD=CD，连接OC、DO则形成两个全等△BOD、△COD和一个等腰△ACO
（注∵△ABE和△CDE都是等腰△，可证BD=AC∴△COD和一个等腰△ACO）
∴ BD=CD=BO=OC 形成平行四边形
∵∠DBO=60
∴∠COA也=60
∵△ACO为等腰△并且∠3=30
∴∠AOF也=30
∴∠AOF=∠2
∴OF//BE
∵O为AB的中点
∴OF=1/2BE

追问

怎么证明△BDO全等于△CDO？

追答

∵∠B=60°∠3=30 ∠ADB=90°O为AB中点
∴DO=1/2AB（对应中点）
BO也=1/2AB （对应30°）
∴ 三边相等，△BDO为正△
同样在△CDO中
DC=BD=DO ∠CDO=60
∴△CDO也为正△
∴△BDO全等于△CDO（边长相等的正△）
完。不清楚，再问。