Question

一道数学函数题：急急急急急急！！！！

已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)*f(y）且当x＞0时，f(x)＞1，
（1）求f(0);
(2) 求证x＜0时有0＜f(x)＜1,
(3) f(x)在R上单调递增。

Answer 1

（1）在等式f(x+y)=f(x)*f(y）中令y=0得：
f(x)=f(x)*f(0)，所以f(0)=1；
（2）在等式f(x+y)=f(x)*f(y）中令y=-x得：
f(0)=f(x)*f(-x)=1
设x>0，则-x<0；
因为f(x)*f(-x)=1，
所以f(-x)=1/f(x)，因为当x＞0时，f(x)＞1，
所以0<f(-x)<1，
即：x＜0时有0＜f(x)＜1
（3）令x1<x2，则x2-x1>0，则f(x2-x1)>1
x2=(x2-x1)+x1
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)*f(x1)
即得：f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)
由（1）（2）知对任意x∈R，f(x)>0
所以f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)>1，即f(x2)>f(x1)；
即证得了x1<x2时，f(x1)<f(x2)
所以f(x)在R上单调递增。

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

1、令x=0，y>0，f(y)>0
f(x+y)=f(x)*f(y)
f(y)=f(0)*f(y)
故知f(0)=1
2、x<0，y=-x>0
f(x+y)=f(x)*f(y)
f(0)=f(x)*f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)=1/f(y)<1
故知x＜0时有0＜f(x)＜1
3、令y>x，0<f(y-x)<1
f(y)=f(y-x)f(x)
f(y)/f(x)=f(y-x)<1
所以f(y)>f(x)
所以f(x)在R上单调递增