Question

行列式求解

Answer 1

这个有些麻烦
中间有些步骤省略了, 若哪里不明白就追问吧

解: 原行列式记为Dn
Dn 左右翻转得 Hn =
x a a ... a a
b x a ... a a
b b x ... a a
... ...
b b b ... x a
b b b ... b x

则 Dn = (-1)^[n(n-1)/2] Hn.

下面计算Hn
Hn =
b+(x-b) a a ... a a
b x a ... a a
b b x ... a a
... ...
b b b ... x a
b b b ... b x

= 按行列式性质分拆
b a a ... a a
b x a ... a a
b b x ... a a
... ...
b b b ... x a
b b b ... b x
+
x-b a a ... a a
0 x a ... a a
0 b x ... a a
... ...
0 b b ... x a
0 b b ... b x

第1个行列式:
第1列提出b, 然后第1列乘 -a 加到其余各列
行列式化为下三角形
等于 b(x-a)^(n-1)

第2个行列式:
按第1列展开, 等于(x-b)H(n-1)

所以 Hn = b(x-a)^(n-1) + (x-b)H(n-1) ...(1)

再考虑Hn的转置(a,b换位), 得
Hn = a(x-b)^(n-1) + (x-a)H(n-1) ...(2)

(1),(2)式消去 H(n-1) 得
(a-b)Hn = a(x-b)^n - b(x-a)^n

若a≠b, 则 Hn = [a(x-b)^n - b(x-a)^n]/(a-b)
若a=b, 直接计算(略) Hn = [x+(n-1)a)](x-a)^(n-1)

所以原行列式 Dn = (-1)^[n(n-1)/2] Hn
= (-1)^[n(n-1)/2] [a(x-b)^n - b(x-a)^n]/(a-b), a≠b
= (-1)^[n(n-1)/2] [x+(n-1)a)](x-a)^(n-1), a=b

追问

再考虑Hn的转置(a,b换位), 得
Hn = a(x-b)^(n-1) + (x-a)H(n-1) ...(2)
这里看不懂，是什么原理来的？

追答

这是行列式的性质: 行列式等于行列式的转置
而Hn的转置, 相当于 a,b 交换了位置
所以在(1)中 a,b 交换一下就得(2)

Answer 2

Answer 3

Answer 4