Question

双曲线x^2/4-y^2/12=1上求1点p使它到左焦点的距离是到右焦点的距离的2倍。急！！！

Answer 1

双曲线x^2/4-y^2/12=1上求1点p使它到左焦点的距离是到右焦点的距离的2倍
解：双曲线：a=2，b=2√3，c=4，2c=8.
设P点的坐标为(x，y)，左焦点F₁(-4，0)；右焦点F₂(4，0)，︱PF₁︱=2︱PF₂︱.
︱PF₁︱-︱PF₂︱=2︱PF₂︱-︱PF₂︱=︱PF₂︱=8
故有解析式：
︱PF₂︱²=(x-4)²+y²=64.............(1)
点P在双曲线上，故有：x²/4-y²/12=1，去分母得：
3x²-y²=12....................................(2)
(1)+(2)得(x-4)²+3x²=76，化简得x²-2x-15=(x-5)(x+3)=0，故得x=5，y=√(3×25-12)=√63=3√7
即P点的坐标为(5，3√7).

Answer 2

双曲线上任意一点到两焦点的距离的差为该双曲线的焦距长。
而这个双曲线的半焦距为√(4+12)=4
所以焦距为8
所以p到左焦点的距离是16
到右焦点的距离是8
右焦点的坐标为(4,0)
所以有距离方程(x-4)^2+y^2=8^2=64
再联立原双曲线的方程x^2/4-y^2/12=1
解得x=5或-3
又因为p点到左焦点的距离长
所以p点必在x轴正半轴那边
即x为正数
所以x=5，得到y=3√7
所以p(5,3√7)