Question

已知f(x)是奇函数,在(0,+无穷大)上是减函数,求证f(x)在R上是减函数

Answer 1

设x1<0, x2<0 且x1<x2
因为 f(x)是奇函数， 所以f(-x1)=-f(x1), f(-x2)=-f(x2) ;
于是，-x1>-x2>0, f(x)在(0,+∞)上是减函数。
所以f(-x1)<f(-x2)
即 -f(x1)<-f(x2)
f(x1)>f(x2)
可知，函数f(x)在（-∞，0）上也是减函数。
总之，f(x)在R上是减函数。

Answer 2

只需要证明 f(x)在(-无穷，0)是减函数
f(x)=-f(-x)
任意的 0<x1<x2
f(x1)-f(x2)<0
=>-f(-x1)-[-f(-x2)]<0
=>f(-x2)-f(-x1)<0
-x2<-x1<0
故f(x)在(-无穷,0)是单调递减的
故 f(x)在R上是减函数
希望对你有帮助