Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆D与BC相切。 （1）求证：OB⊥OC；（2）若AD=

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆D与BC相切。 （1）求证：OB⊥OC；（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O 1 与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O 1 的面积。

Answer 1

（1）证明见解析（2）4π

（1）∵AB，BC，CD均与半圆O相切， ∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO． 又AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°． ∴2∠CBO+2∠BCO=180°，于是∠CBO+∠BCO=90°， ∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=180°-90°=90°， 即OB⊥OC．                                     ………………………………4分 （2）设CD切⊙O 1 于点M，连接O 1 M， 则O 1 M⊥CD． 设⊙O 1 的半径为r． ∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O 1 CM， ∴∠O 1 CM=30°． 在Rt△O 1 CM中，CO 1 =2O 1 M=2r．在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12． ∵⊙O 1 与半圆D外切， ∴OO 1 =6+r，于是，由OO 1 +O 1 C=OC，即6+r+2r=12， 解得r=2， 因此⊙O 1 的面积为4π．                           ………………………………10分 （1）证明两个锐角的和等于90°即可； （2）求得⊙O 1 的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．