Question

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，n≥2），且a4=65．求数列{an}的前n项和Sn

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，n≥2），且a4=65．求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

由a₄=65，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1，得
65＝2a3+24?1，即a₃=25，
25＝2a2+23?1，即a₂=9，
9＝2a1+22?1，即a₁=3．
∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），
∴

an

2n

＝

an?1

2n?1

+1?

1

2n

，
∴

an?1

2n

?

an?1?1

2n?1

＝1（n≥2），
则{

an?1

2n

}成等差数列．
∴

an?1

2n

＝1+n?1＝n，
∴an＝2n+1，
∴Sn＝1?2+2?22+3?23+…+n?2n．
令Tn＝1?2+2?22+3?23+…+n?2n，
则2Tn＝1?22+2?23+…+(n?1)?2n+n?2n+1，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
Sn＝(n?1)2n+1+n+2．