Question

已知函数f(x)＝lnxx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中

已知函数f(x)＝lnxx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求实数m的取值范围；（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使ab=ba．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请写出a的取值范围（不需要解答过程）．

Answer 1

（1）定义域为（0，+∞），f′(x)＝

1?lnx

x2

，令f′(x)＝

1?lnx

x2

＝0，则x=e，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）的单调递增区间为（0，e）；f（x）的单调递减区间为（e，+∞）．（4分）

（2）∵不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴分离m得，m＞

lnx

x

对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求f(x)＝

lnx

x

在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（2）知：f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
当2a≤e时，即0＜a≤

e

2

时，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f(x)max＝f(2a)＝

ln2a

2a

；
当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f(x)max＝f(a)＝

lna

a

；
当a＜e＜2a时，即

e

2

＜a＜e时，f（x）在[a，e]上单调递增，f（x）在[e，2a]上单调递减，
∴f(x)max＝f(e)＝

1

e

．
综上得：
当0＜a≤

e

2

时，m＞f(2a)＝

ln2a

2a

；
当a≥e时，m＞f(a)＝

lna

a

；
当

e

2

＜a＜e时，m＞f(e)＝

1

e

．（12分）
（3）正确，a的取值范围是1＜a＜e．（16分）
注：理由如下，考虑函数f（x）的大致图象．
当x→+∞时，f（x）→0．
又∵f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴f（x）的图象如图所示．

∴总存在正实数a、b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），
即

lna

a

＝

lnb

b

，即a^b=b^a，此时1＜a＜e．