Question

已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（　　）A．π3B．π2C．2π3D．

已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（　　）A．π3B．π2C．2π3D．π

Answer 1

由3sinα=2sinβ，得sinβ=

3

2

sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=

3

2

-

3

2

cosα，
将3sinα-2sinβ=0，两边平方得：（3sinα-2sinβ）²=0，
整理得：9sin²α-12sinαsinβ+4sin²β=0①，
同理，将3cosα+2cosβ=3，两边平方得：（3cosα+2cosβ）²=9，
整理得：9cos²α+12cosαcosβ+4cos²β=9②，
两式相加得9sin²α-12sinαsinβ+4sin²β+9cos²α+12cosαcosβ+4cos²β=9
整理得：13+12（cosαcosβ-sinαsinβ）=9，
即cosαcosβ-sinαsinβ=-

1

3

，即cos（α+β）=-

1

3

，
将sinβ=

3

2

sinα，cosβ=

3

2

-

3

2

cosα代入得：cosα（

3

2

-

3

2

cosα）-

3

2

sin²α=-

1

3

，
整理得：

3

2

cosα-

3

2

cos²α-

3

2

（1-cos²α）=-

1

3

，
解得：cosα=

7

9

，cosβ=

3

2

-

3

2

cosα=

1

3

，
即cos（α+β）=-cosβ，
∵α、β∈（0，

π

2

），∴α+β∈（0，π），
∴cos（α+β）=cos（π-β），即α+β=π-β，
则α+2β=π．
故选：D．