Question

定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=f(b)?f(a)b?a，f′（x

定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=f(b)?f(a)b?a，f′（x2）=f(b)?f(a)b?a，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）=13x3-x2+a是区间[0，a]上的双中值函数，则实数a的取值范围是（　　）A．（0，32）B．（32，3）C．（12，3）D．（1，3）

Answer 1

由题意可知，
在区间[0，a]存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），
满足f′（x₁）=f′（x₂）=

f(a)?f(0)

a

＝

1 3 a3?a2

a

＝

1

3

a2?a，
∵f（x）=

1

3

x³-x²+a，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程x2?2x＝

1

3

a2?a在区间（0，a）有两个解．
令g(x)＝x2?2x?

1

3

a2+a，（0＜x＜a）
则

△＝4+ 4 3 a2?4a＞0 g(0)＝? 1 3 a2+a＞0 g(a)＝ 2 3 a2?a＞0 a＞1

，
解得，

3

2

＜a＜3．
∴实数a的取值范围是(

3

2

，3)．
故选：B．