Question

如何确定一个向量组的生成子空间的基和维数？ 求R4中由向量组 　　 　　生成的子空间的一个基和维数。

解：向量组 的一个极大无关组就是其生成子空间的一个基， 的秩就是生成空间的维数。
　　
　　
　　因此 就是由 生成的子空间的一个基，生成子空间的维数为3。我明白，矩阵的初等变换我也会，最后因为初等变换后的矩阵的有三个非零行，所以矩阵的秩为3，这我也懂，但是我不懂 就是由 生成的子空间的一个基是如何得出来的？是不是用初等变换后的矩阵的有三个非零行的矩阵中的4列中的任意3列，不包括最后1行的0，分别组成行列式，然后分别算各个行列式是否为0？另外，生成子空间的维数为3，得出的依据又是什么？

请教各位高人，谢谢！

Answer 1

1. 但是我不懂 就是由 生成的子空间的一个基是如何得出来的？
基就是向量组的一个极大无关组
向量组α1,α2,α3.α4 经初等行变换化成梯矩阵后,
非零行的首非零元所在列对应的向量即构成一个极大无关组
你的题目中 α1,α2,α3 即是一个极大无关组
(当然, 极大无关组不是唯一的)

2. 生成子空间的维数为3，得出的依据又是什么？
生成的子空间的任一向量都可由 极大无关组 线性表示
极大无关组又是线性无关的
所以 极大无关组 就是生成子空间的基
基所含向量的个数就是空间的维数 (这是定义)

Answer 2

线性代数太难了