Question

如图,已知抛物线y=4/3 x2+bx+c经过A(3,0)B(0,4)， 1.求此抛物线解析式 2.

图,已知抛物线y=4/3 x2+bx+c经过A(3,0)B(0,4)，
1.求此抛物线解析式
2.若抛物线与x轴的另一交点为C，求点C关于直线AB的对称点的坐标
3.若点D是第二象限内一点，以点D为圆心的圆分别交x轴，y轴，直线AB相切于点E,F,H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|PH-PA|的值最大，若存在，求出该最大值

Answer 1

解（1）将B（0,4）带入Y=4/3X²+bX+c得 c=4 将A（3,0）带入Y=4/3X²+bX+4得 b=-16/3
∴Y=4/3X²-16/3X+4
（2）令 4/3X²-16/3X+4=0 X1=3 X2=1 即C（1,0）
设直线AB解析式为Y=kX+4 3k+4=0 k=-4/3
∴Y=-4/3X+4
作CQ⊥AB，延长CQ，使CQ=C＇Q （C＇为C点关于AB的对称点）
∴S△=1/2CQ×AB=1/2CA×BO
∵AB=5，CA=2
∴CQ=8/5，CC＇=16/5
作C＇T⊥X轴
∵∠C＇CT+∠BAO=90°，∠C＇CA+∠CC＇T=90°
∴∠BOA=∠CC＇T
∵∠BOA=∠CTC＇
∴△CTC＇∽△BOA
∴C＇T/OA=CC＇/AB=CT/OB
∴C＇T=48/25，CT=64/25
∴OT=1+64/25=89/25
∴C＇（89/25，48/25）
（3）设⊙D的半径为r
则AE=r+3,BF=4-r，HB =BF=4-r
∵AB=5,且AE=AH
∴r+3=5+4-r
∴r=3
HB=4-3=1
作HN⊥Y轴，垂足为N
则HN/OA=HB/AB BN/OB=HB/AB
∴HN=3/5，BN=4/5
∴H（-3/5,24/5）
根据抛物线的对称性，得PA=PC
∵丨PH-PA丨=丨PH-PC丨≤HC
∴当H,C,P三点共线时，丨PH-PC丨最大
∵HC=√（1+3/5）²+（24/5）²=8/5√10
∴丨PH-PA丨max=8/5√10

Answer 2

解：1:将A B代人抛物线得：b=-16/3 c=4
所以：y=4/3x2-16/3x+4
2:点C（1,0）
AB直线解析式：y=-4/3x+4
因为点C1是点C关于直线AB的对称点，过C1点做X轴的垂线交X轴于点D 可得：
三角形CC1D相似于三角形CAE
所以：C1(11/5，8/5）
3：有图方便些