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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知a为
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知a为实数,且f(a2-a)<f(4a-4),求函数g(x)...
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知a为实数,且f(a2-a)<f(4a-4),求函数g(x)=x(x-a)在区间[0,2]上的最小值.
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解1)设x<0,则-x>0,由已知可得:f(-x)=(-x)2-4x.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x.
所以函数的解析式为:f(x)=
.
(2)当x≥0时,f(x)=(x+2)2-4,∴函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;
同理可得:当x<0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.由函数f(x)在x=0时连续,
∴函数f(x)在R上单调递增.
∵实数a满足f(a2-a)<f(4a-4),
∴a2-a<4a-4,解得1<a<4.
令
=t,∵x∈[0,2],∴t∈[0,
].
∴y=t(t2-a),∴y′=3t2-a.
令y′=0,则t=
,
又∵1<a<4,∴
<
<
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x.
所以函数的解析式为:f(x)=
|
(2)当x≥0时,f(x)=(x+2)2-4,∴函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;
同理可得:当x<0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.由函数f(x)在x=0时连续,
∴函数f(x)在R上单调递增.
∵实数a满足f(a2-a)<f(4a-4),
∴a2-a<4a-4,解得1<a<4.
令
x |
2 |
∴y=t(t2-a),∴y′=3t2-a.
令y′=0,则t=
|
又∵1<a<4,∴
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