已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当
已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f...
已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2-1）＜2．
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（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），
令x1=x2=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令x1=-1，x2=x代入上式，∴f（-x）=f（-1?x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x2＞x1＞0，则f(x2)?f(x1)＝f(x1?
)?f(x1)=f(x1)+f(
)?f(x1)＝f(
)
∵x2＞x1＞0，∴
＞1，∴f(
)＞0，
即f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2-1）＜2可化为f（|2x2-1|）＜f（4），
又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2-1|＜4，且2x2-1≠0，
即-4＜2x2-1＜4，且2x2≠1解得：?
＜x＜
，且x≠±
，
即不等式的解集为{x|?
令x1=x2=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令x1=-1，x2=x代入上式，∴f（-x）=f（-1?x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x2＞x1＞0，则f(x2)?f(x1)＝f(x1?
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
∵x2＞x1＞0，∴
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
即f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2-1）＜2可化为f（|2x2-1|）＜f（4），
又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2-1|＜4，且2x2-1≠0，
即-4＜2x2-1＜4，且2x2≠1解得：?
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即不等式的解集为{x|?
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