Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A-PD-C的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
故PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，
∴AE⊥CD。

(Ⅱ)证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA，
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
由(Ⅰ)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，
所以AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD， 
∴AE⊥PD，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，
又AD⊥AB，PA∩AD=A，
∴AB⊥面PAD， 
∴AB⊥PD，
又AB∩AE=A，
综上得，PD⊥平面ABE。    

(Ⅲ)解：由题设PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，
则平面PAD⊥平面ACD，交线为AD，
过点C作CF⊥AD，垂足为F，
故CF⊥平面PAD，过点F作FM⊥PD，垂足为M，
连接CM，故CM⊥PD，因此∠CMF是二面角A-PD-C的平面角，
由已知，可得∠CAD=30°，
设AC=a，可得PA=a，

∵

∴

于是，

在Rt△CMF中，

故二面角A-PD-C的余弦值为 

扩展资料：

四棱锥体积公式推导：

在四棱锥上做一个与四棱锥B1-ABCD同底等高的四棱柱A1B1C1D1-ABCD出来，沿底面的对角线BD与棱锥的顶角B1所在的面把四棱锥切开，把四棱锥的问题转化成三棱锥的问题。

这时候，两个三棱柱与两个三棱锥都分别是等底等高。他们的体积是分别相

等的。若能证明三棱锥体积是1/3sh,即可证明四棱锥的体积计算公式1/3sh。

连接A D1之后，发现三棱柱是由三个三棱锥组成，只要证明这三个三棱锥B1-ABD,A-A1B1D1,A-D1B1D体积相等就可以了。

B1-ABD与A-A1B1D1等底等高，所以体积相等。

B1-ABD换个角度看其实就是A-B1BD，A-B1BD与A-D1B1D等底等高，所以体积相等。所以B1-ABD与A-D1B1D体积相等。

也就是说组成三棱柱的这三个三棱锥体积相等，所以三棱锥体积是1/3sh

所以四棱锥的体积计算公式1/3sh。

四棱锥的底面面积S加顶点A'面积0除以2的平均面积1/2S的一个四棱柱乘以高h,就是四棱锥体积：

V=1/3（S+0）h=1/3Sh

Answer 2

解答：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AC⊥CD，AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，
∴CD⊥AE；
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD∴PA⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD∴AB⊥PD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．
∴AC=AB∴PA=PC
∵E是PC中点∴AE⊥PC
由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE；
（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，
由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，
则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，
则∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
设AC=a，AD=

a

cos30°

=

2a

3

，PA=A，PD=

a2+ 4a2 3

=

21

3

a，
AM=

PA?AD

PD

=

a? 2a 3

21 3 a

=

2a

7

，
在Rt△AEM中，AE=

2

2

a，EM=

AM2?AE2

=

4a2 7 ? 1 2 a2

=

14

14

a，
则tan∠AME=

AE

EM

=

2 2 a

14 14 a

=

7

．