Question

在锐角△ABC中，一直内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2sinB(2cos²(B/2)-1)=-√3cos2B.(1)

在锐角△ABC中，一直内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2sinB(2cos²(B/2)-1)=-√3cos2B.
（1）求B的大小
（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值
求详细解答过程，谢谢！

Answer 1

一、
2sinB.((2cos(B/2))^2-1)=-√3cos2B;
2sinB.cosB=-√3cos2B;
cos2B=-√3cos2B;
tan2B=-√3;
2tanB/(1-(tanB)^2)=-√3;
得tanB=√3/3;或tanB=-√3; 有B=30°；或B=120°（大于90°舍去）；
所以B=30°
二、
S=(c.a.sinB)/2=c.a/4;
又a/sinA=b/sinB=2/sin30=4;所以a=4sinA;
c/sinc=c/sin(180-(A+30))=4; 所以c=4sin(A+30);
S=4sinA.sin(A+30)=√3-2cos(2A+30);
当2A+30=90,即A=30时，S的最大值为√3；

Answer 2

（1）
利用这个公式「2cos²(B/2)=1+cos2B」

2sinB(2cos²(B/2)-1)=-√3cos2B
2sinB(1+cos2B-1)=-√3cos2B
2sinB×cos2B=-√3cos2B
cos2B(2sinB+√3)=0
假如2sinB+√3=0的话，sinB=-√3/2,也就是B=240° or 300°。可见这条件是错，也就是2sinB+√3≠0。
那么就是cos2B=0，也就是2B=90°。
答案：B=45°。

（2）
S=a×b×sinC×1/2=a×sinC
a增大时，sinC减小。sinC增大时，a减小。在此可以推测a=c，sinA=sinC时，S就是最大值。

a=c时，
cosB=√2/2=(a²+a²-2²)/2a²
a²=4/(2-√2)

S=a×c×sinB×1/2=a×a×√2/2×1/2=√2/4×a²=√2/(2-√2)
最大值就是S=√2/(2-√2)

供参考