如图，点A.B.C.D均在圆O上，且AC⊥BD，OE⊥BE于点E.求证，OE=二分之一AD
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证明：【OE⊥BC于E】
过O点作OF⊥AD，连接OA，OC
∵OF⊥AD
∴AF=½AD【垂直于直径的弦必被直径平分】
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵ABCD四点共圆
∴∠DAC=∠DBC
延长EO交AC于M，AC与BD交于N
∵∠BNC=∠MEC=90º，∠MCE是共角
∴∠DBC=∠EMC=∠DAC
∵∠EOC=∠EMC+∠OCA，∠OAD=∠DAC+∠OAC
∴∠EOC=∠OAD
又∵∠OFA=∠OEC=90º，OA=OC
∴⊿OAF≌⊿OCE（AAS）
∴OE=AF=½AD
过O点作OF⊥AD，连接OA，OC
∵OF⊥AD
∴AF=½AD【垂直于直径的弦必被直径平分】
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵ABCD四点共圆
∴∠DAC=∠DBC
延长EO交AC于M，AC与BD交于N
∵∠BNC=∠MEC=90º，∠MCE是共角
∴∠DBC=∠EMC=∠DAC
∵∠EOC=∠EMC+∠OCA，∠OAD=∠DAC+∠OAC
∴∠EOC=∠OAD
又∵∠OFA=∠OEC=90º，OA=OC
∴⊿OAF≌⊿OCE（AAS）
∴OE=AF=½AD
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