Question

设f(x)为[a,b]上的严格单调递增函数，且a<f(a)<f(b)<b,证明存在c∈(a，b)，使得f(c)=c.

Answer 1

用闭区间套定理证明

首先取闭区间[x1,y1]=[a,b], 由题意满足f(x1)>x1且f(y1)<y1
然后考察(a+b)/2
若f((a+b)/2)=(a+b)/2,结论显然成立.(以下略去在讨论过程中出现的f(xn)=xn或f(yn)=yn的情况~)
若f((a+b)/2)<(a+b)/2,则取[x2,y2]=[a,(a+b)/2]
若f((a+b)/2)>(a+b)/2,则取[x2,y2]=[(a+b)/2,b]
总之，取[x2,y2]满足[x2,y2]是[a,(a+b)/2]和[(a+b)/2,b]中的一个，f(x2)>x2,f(y2)<y2,且y2-x2=(y1-x1)/2

假设已取出[xk,yk],则考察(xk+yk)/2
若f((xk+yk)/2)<(xk+yk)/2,则取[x(k+1),y(k+1)]=[xk,(xk+yk)/2]
若f((xk+yk)/2)>(xk+yk)/2,则取[x(k+1),y(k+1)]=[(xk+yk)/2,yk]
总之，取[x(k+1),y(k+1)]满足[x(k+1),y(k+1)]是[xk,(xk+yk)/2]和[(xk+yk)/2,yk]中的一个，f(x(k+1))>x(k+1),f(y(k+1))<y(k+1),且y(k+1)-x(k+1)=(yk-xk)/2

根据这个思路，我们可以取出一列闭区间[x1,y1], [x2,y2]…[xn,yn]满足
(1) [x(n+1),y(n+1)]是[xn,yn]的子集
(2) Lim(yn-xn)=lim(b-a)/2^(n-1)=0
故根据闭区间套定理，存在唯一实数c使得对任意正整数n,xn≤c≤yn
而根据构造过程可知 xn<f(xn)，f(yn)<yn

综合xn≤c≤yn，xn<f(xn)，f(yn)<yn及f(x)为[a,b]上的严格单调递增函数知道xn<f(xn) ≤f(c) ≤f(yn)<yn
从而对任意正整数n,xn≤f(c) ≤yn.但满足xn≤c≤yn的常数c只有一个，故f(c)=c，证毕

追问

是对的。

Answer 2

设g(x)=f(x)-x
由a<f(a)<f(b)<b可知，f(a)-a>0，f(b)-b<0
即在[a,b]上，有g(a)>0, g(b)<0
根据中值定理，必然存在c∈(a,b)，使得g(c)分=f(c)-c=0
即必然存在c∈(a,b)，使得f(c)=c

希望对你有帮助

追问

f(x)没有说连续，介值定理不能用，你的证明是错的。

追答

如果不连续，结论就不成立

追问

那请给出反例。

追答

无论你给出怎样的函数，我将c点定义为空(即无定义，因为可以不连续)，结论无论怎样证明都不成立
你前面已经说了在[a,b]上严格单调递增，就已经默认了是连续的了

追问

你的理解有问题。
定义在[a,b]上的实函数，是指f: [a,b]→R，这样一个映射。
跟据映射的定义，对任意p∈[a,b],通过关系f，能找到唯一一个确定的像f(p)。

你给出的函数不满足我的题设，不能称为[a,b]上的函数，因为在c点通过函数无像。最多可以称为 [a,c)∪(c,b]上的函数。

追答

对呀，反过来不是正好可以说明，在[a,b]上每一点都可以找到像的函数是连续函数吗，而你的函数正好可以符合这个条件，即你的函数在[a,b]上是连续定义的
就像你说的，一旦我给你挖掉一点，你就不会写成[a,b]，而是写成[a,c)U(c,b]了

追问

你这个也是错的。
考虑 f(x)定义如下
f(x)=x x>=0
f(x)=x-1 x<0

这个函数处处有定义，是f:R→R上的映射。且严格单调增加。但f不连续。

这是很多大学数学专业的考研真题。请思考再深入一点。

追答

你这个函数虽然满足前半截题设单调递增，但不满足后半截题设a=0) f(x)=x+1 (x<0)
但这个函数又只满足后半截题设，不满足前半截单调递增的题设
所以，在我的理解，要同时满足这两个题设，它应该必然是连续的

追问

如果你认为连续，你要做的第一件事是先证明他。
但你的理解，也是有问题的
f:[-2,4]→R定义如下
f(x)= x/2 + 1 若 x>=0
f(x)=x/2 若 x<0
这个就是单调函数，不连续，处处有定义 且-2<f(-2)<f(4)<4。

这个问题，你已经思考错方向了。不要再追着答了，还要讨论就HI我。我告诉你详细的。
这里我不再讨论了。

Answer 3

设g(x)=f(x)-x
则g(a)=f(a)-a>0
g(b)=f(b)-b<0
g(x)是连续函数，所以在[a,b]中存在一点c
g(c)=0
即f(c)-c=0
f(c)=c

追问

f(x)没有说连续，介值定理不能用，你的证明是错的。

Answer 4

没有说这是个连续函数
楼上的证明都挺high

Answer 5

有限闭区间上连续函数的性质——零点定理。
令F(x)=f(x)-x
由题意得到：f在[a，b]是连续的，则F也在[a，b]连续；
F(a)=f(a)-a>0
F(b)=f(b)-b<0
F(a),F(b)异号，则必然存在一点c∈(a，b)，使得F(c)=0，即f(c)=c

追问

f(x)没有说连续，介值定理不能用，你的证明是错的。

追答

函数f(x)满足ay+(-f(x))+f(x)-x=y-x>0
即d(x,y)>d(f(x),f(x))>0，那么存在实数0<t<1：d[f(x),f(y)]≤t*d(x,y)
那么f是[a，b]到[a，b]的一个压缩映射。S=[a，b]
一维空间（S，d）是完备的，则：
压缩映射定理：f存在一个不动点c：f(c)=c。

追问

“d(x,y)-d(f(x),f(y))=y+(-f(y))+f(x)-x>y+(-f(x))+f(x)-x=y-x>0”这一步的放缩有问题。

而且，你能推出 在实数0<t<1：d[f(x),f(y)]≤t*d(x,y)显然也是不合理的。
因为满足这个的函数都一致连续。
实际上，我前面给出了一个不连续的满足题设的例子。