Question

已知,如图,在提醒ABCD中,AD//BC,E、F分别是AB、DC的中点,连接EF,且EF交BD于G,交AC于H。

求证：GH=1/2(BC-AD)
今晚之内，越详细越好

Answer 1

证明:连接AG并延长,交BC于M.

EF为梯形ABCD的中位线,则EF平行AD,则:⊿BEG∽⊿BAD,BG/BD=BE/BA.

又BE/BA=1/2,则BG/BD=1/2,得BG=GD.

AD∥BC,则:∠ADG=∠MBG;又∠AGD=∠MGB;AG=GD.故⊿DAG≌⊿MBG,BM=AD,AG=GM.

∴GH为⊿AMC的中位线,故GH=(1/2)MC=(1/2)(BC-BM)=(1/2)(BC-AD).

Answer 2

证明：∵,E、F分别是AB、DC的中点，梯形ABCD
∴EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC)/2
∵点E是AB的中点，EF∥AD
∴EG=AD/2，
同理FH=AD/2
∴GH=EF-EG-FH=（AD+BC)/2-AD/2-AD/2=(BC-AD)/2

Answer 3

因为E、F分别是AB、DC的中点，所以EF是梯形ABCD的中位线，所以
EF=1/2(BC+AD)
并且EF//AD//BC，所以三角形BEG与三角形BAD相似，三角形CFH与三角形CDA相似
可证得G、H分别是BD、AC的中点，所以EG、HF分别是三角形BAD和三角形CDA的中位线
所以EG=1/2AD，HF=1/2AD，所以GH=EF-EG-HF=1/2(BC+AD)-1/2AD-1/2AD=1/2(BC-AD)