Question

已知函数f(x)=x^2+2x+1,若存在实数t，当x属于[1,m]时，f(x+t)<=x恒成立，则实数m的最大值为多少？？

f(x＋t)＝(x＋t)^2＋2(x＋t)＋1
＝x^2＋2xt＋t^2＋2x＋2t＋1
≤x
x^2＋(2t＋1)x＋(t＋1)^2≤0
所以△≥0，得t小于等于-3/4
然后应该怎么做？

Answer 1

数形结合法,事半功倍.
f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2
图象是抛物线，开口向上，与x轴相切，对称轴x=-1.
如图，在我的百度空间的相册里
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/album/item/4b4f6c0eff9a73586059f3be.html#
y=f(x+t)=(x+1+t)^2
看成把抛物线y=f(x)向左(t>0),向右(t<0)平移|t|个单位，得抛物线y=f(x+t)。
换言之，当t由大变小时，抛物线y=f(x)由左向右运动。
当x属于[1,m]时，f(x+t)<=x恒成立的几何意义是，
在闭区间[1,m]上，抛物线y=f(x+t)恒在直线y=x的下方。
t=-1时，抛物线y=f(x-1)=x^2与直线y=x交于(0,0)和(1,1)两点。
t=-3时，抛物线y=f(x-3)=(x-2)^2直线y=x交于(1,1)和(4,4)两点。
这两个时刻之间的m取值范围
1<m≤4,（中学只能m>1。大学m≥1。大学的闭区间端点可以相等，即闭区间可以表示孤点）
如果继续t<-3,抛物线y=f(x+t)的左支开始有部分位于直线y=x的上方，不满足题意。
∴ m max=4