Question

已知函数f(x)=lnx-ax^2-bx(a,b含于R,且a≠0)(1)当b=2时,若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

已知函数f(x)=lnx-ax^2-bx(a,b含于R,且a≠0)(1)当b=2时,若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当a＞0且2a+b=1时，讨论函数f（x）的零点个数。
求清晰解题过程。。。

Answer 1

(1) f(x)=lnx-ax²-2x
f'(x)=1/x-2ax-2
若f(x)存在单调递减区间
则f'(x)=(1-2x-2ax²)/x<0
因定义域x>0 则2ax²+2x-1>0
设f(x)=2ax²+2x-1>0
[1] a<0 时，抛物线开口向下，对称轴x=-1/(2a)>0
x>-1/2a时单调递减，成立
[2] a=0时，f(x)=2x-1单调递增，不成立
[3] a>0时，怕我想开口向上，对称轴x=-1/2a<0
x<-1/2a时单调递减，但x>0，所以不成立
综上：a<0
(2) 当a＞0且2a+b=1时
f'(x)=1/x-2ax-b=(1-bx-2ax²)/x=(1-x)(1+2ax)/x
因x>0 a>0 则 1+2ax>0
所以0<x<1时 f'(x)>0 单增
x>1时 f'(x)<0 单减
又f(1)=0-a-b=-a-(1-2a)=a-1
故:
[1]a>1时，f(x)有2个零点
[2] a=1时，f(x)有1个零点
[3] a<0时，f(x)没有零点

Answer 2

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