Question

设﹛Xn﹜满足-1＜X0＜0，Xn+1=Xn∧2+2Xn（n=0，1，2，…），证明﹛Xn﹜收敛，并求极限

Answer 1

Xn+1=Xn∧2+2Xn
=(xn+1)^2-1>=-1
xn有下界-1
由于Xn+1=Xn∧2+2Xn
xn+1-xn=xn^2+xn=xn(xn+1)
所以Xn=Xn-1∧2+2Xn-1
利用数学归纳
x1=x0^2+2x0=(x0+1)^2-1
1. x1-x0=x0^2+x0=x0(x0+1)<0
2. 假设xn-xn-1<0
由
Xn+1-xn=Xn∧2+2Xn-(xn-1^2+2xn-1)
=(xn-xn-1)(xn+xn-1)+2(xn-xn-1)
=(xn-xn-1)(xn+xn-1+2)
xn>-1,xn-1>-1
即xn+xn-1+2>0
所以
Xn+1-xn=(xn-xn-1)(xn+xn-1+2)<0
xn+1<xn也成立,所以
{xn}是递减数列,而又有下界,所以
有准则2,知﹛Xn﹜收敛.
设极限为a,
Xn+1=Xn∧2+2Xn,两边同时取极限得
a=a^2+2a
a^2+a=0
a=0或-1