Question

高三数列

已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x+1)-f(x)=1,当x为偶数时，f(x+1)-f(x)=3，且满足f(1)+f(2)=5.
(1)求证：{f(2n-1)}(n∈N*）是等差数列
（2）求f(x)的解析式

【【求详解，谢谢】

Answer 1

(1)当x为奇数时，f(x+1)-f(x)=1,
令x=2k-1
f(2k)-f(2k+1)=1 ①
当x为偶数时，f(x+1)-f(x)=3
令x=2k,
f(2k+1)-f(2k)=3 ②
①+②得
f(2k+1)-f(2k-1)=4
所以
{f(2n-1)}(n∈N*）是以公差为4的等差数列.
(2)当x为奇数时，f(x+1)-f(x)=1,
令x=2k+1
f(2k+2)-f(2k+1)=1 ①
当x为偶数时，f(x+1)-f(x)=3
令x=2k,
f(2k+1)-f(2k)=3 ②
①+②得
f(2k+2)-f(2k)=4
{f(2n)}(n∈N*）也是以公差为4的等差数列.
当x为奇数时，f(x+1)-f(x)=1,取x=1
有f(2)-f(1)=1,又f(1)+f(2)=5.
所以
f(1)=2,f(2)=3
所以
当x为奇数时，f(x)=2+2(x-1)=2x
当x为偶数时，f(x)=3+4*(x/2-1)=2x-1

Answer 2

当x 为奇数时f(x+1)-f(x)=1 所以f(2)-f(1)=1 当为x 偶数时f(x+1)-f(x)=3 所以f(2)+f(1)=3 又f(2)+f(1)=5 所以f(1)=2 f(2)=3 f(3)=6 f(4)=7 .......又f(2n-1) n€N* 所以2n-1始终为奇数即求出an=4n-2 即f(2n-1)=4n-2 所以f(2n-1) 是以2为低 4为公差的等差数列 (2) f(x) 是由奇,偶两部分组成当x为奇数时f(x)=2x 当x为偶数时f(x)=2x-1

Answer 3

f(2k+2)-f(2k+1)=1 f(2k+1)-f(2k)=3
=>f(2k+2)-f(2k)=4
f(2)-f(1)=1 f(1)+f(2)=5=>f(2)=3,f(1)=2
=>f(2k)=4*(k-1)+3=4k-1
f(2k+1)=3+f(2k)=4k+2
=>当n为偶数时f(n)=2n-1
当n为奇数时f(n)=2n