Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0．

（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明
（3)若x大于等于0时，f(x)为增函数，求满足不等式f(x+1)-f(2-x)小于等于0的x的取值集合。

Answer 1

f(-1)=f(1)+f(-1) f(1)=0
f(1)=f(-1)+f(-1) f(-1)=0
f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x) 所以f(x)为偶
因为x大于0是为增，根据第二问可知当x小于0时为减。 当x大于等于0时，x+1小于等于2-x 得出x属于【0,1/2】。当x小于0时，x+1大于等于2-x 得出x为空集。所以x属于【0，1/2】