Question

已知f(x+y)=f(x)+f(y),当x>o时，f(x)>0,判断f(x)在（0，+&）上的单调性

Answer 1

任取x1>x2>0

f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)
根据已知条件f(x+y)=f(x)+f(y)
f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)
因为当x>o时，f(x)>0，又(x1-x2)>0（任取x1>x2>0），
所以f(x1-x2)>0，即f(x1)-f(x2)>0。
所以f(x)在（0，+∞）上单调递增。

追问

非常感激，请问f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)是什么意思？不太明白

追答

你化简一下算式看看，(x1-x2)+x2=x1

所以f[(x1-x2)+x2]=f(x1)
f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1)-f(x2)
这是为了套用已知条件f(a+b)=f(a)+f(b)故意变复杂的（a=x1-x2，b=x2）

Answer 2

解答如下