Question

正方形ABCD内一点P,且角PAD等于角PDA等于15度,证明三角形PBC为等边三角形.

Answer 1

用同一法
分别作角P'BC=角P'CB=60度,P'为BP'与CP'的交点
△P'BC等边三角形
角P'BA=30度
AB=BC=BP'
△P'BA为等腰三角形
角P'AB=75度
角P'AD=15度
同理角P'DA=15度
而在A,D处作15度角的边的交点只有一个
所以P'与P重合
所以，原命题成立

Answer 2

AngelisI 的方法是正确的。下面从另一个角度给出证明：

在正方形ABCD的里面取一点E，使△ADP≌△CDE。
∵△ADP≌△CDE，∴PD＝ED，而∠PAD＝∠PDA＝15°，∴∠ECD＝∠EDC＝15°。
∵ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠PDE＝∠ADC－∠PDA－∠EDC＝90°－15°－15°＝60°。

由PD＝ED、∠PDE＝60°，得△PDE是等边三角形，∴PE＝DE、∠PED＝60°。
∵∠ECD＝∠EDC＝15°，∴∠CEP＝180°－∠ECD－∠EDC＝180°－15°－15°＝150°。
∴∠CEP＝360°－∠PED－∠CED＝360°－60°－150°＝150°，∴∠CEP＝∠CED。

由PE＝DE、CE＝CE、∠CEP＝∠CED，得：△ECP≌△ECD，∴CP＝CD、∠ECP＝∠ECD。
由正方形ABCD，有：∠BCD＝90°、BC＝CD，结合证得的CP＝CD，得：BC＝CP。
显然，∠PCB＝∠BCD－∠ECP－∠ECD＝∠BCD－2∠ECD＝90°－2×15°＝60°。

由BC＝CP、∠PCB＝60°，得：△PBC是等边三角形。

Answer 3

过P作PE垂直AD于E ，延长EP交BC于F
因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，所以PF⊥BC。
因为∠PAD=∠PDA=15°
所以△PAD是等腰三角形
而PE⊥AD
所以EF为AD的垂直平分线
所以PB=PC
所以△PBC是等腰三角形
设正方形ABCD边长为a
那么在RT△PAE 中
PE=AE*tan15°=0.5a*tan15°
则PF=EF-PE=a-0.5a*tan15°
而tan∠PBC=PF/BF= （a-0.5a*tan15） / 0.5a=√3
所以∠PBC=60°
而△PBC是等腰三角形
所以△PBC是等边三角形
备注：tan15°=2 - √3 “√”表示根号