Question

当抛物线y=x^2上的点P与A（0，-4），B（2，0）构成的三角形面积最小时，求点P坐标

Answer 1

设P的坐标（x0，y0）
先求出直线AB的表达式：y=2x-4
由题意可知要求的都是点P到直线AB的距离最短，这样才能使三角形ABP的面积最小
所以d=|Ax0+By0+C|/根号（A^2+B^2)
=|2x0-y-4|/根号[2^2+(-1)^2]
=|2X0-x0^2-4|/根号5
d要最小则|2X0-x0^2-4|=|-(x0-1)^2-3|要最小
当x0=1时，取到最小，
dmin=3/根号5=3根号5/5
所以P点的坐标为（x0，x0^2）=（1,1）

Answer 2

当P到直线AB距离最短时，三角形面积最小，设AB方程为y=kx+b,将A、B两点代入，得，
-4=b，0=2k+b,解得，k=2,b=-4,所以AB方程为y=2x-4,即2x-y-4=0，设P坐标为（x,y）
则y=x^2,即P点坐标(x,x^2),P到AB距离为│2x-x^2-4│/√5=[(x-1)^+3]/√5,当距离最小时，x=1，
即P点坐标为（1,1）此时距离为3√5/5，三角形面积为2√5*3√5/5*1/2=3