Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为 （ B ）
A．五分之三 B．五分之四 C．三分之二 D．三分之根号二
求解析

Answer 1

分析：本题的难点有二：1.对称作图，2.在复杂图形中找出方便求解的关键三角形

解答：

1. 首先按题意画出正确的图形(如上)。

2. 分析可能的解答方法，并比较找出最简单的方法。

   可行的方法有三角函数变换法，这适用于高中程度学生，此方法的优点是不用苦寻特殊方法，思路简单；不过要对三角公式熟练；第二种就是采用解三角形所通常采用的正弦余弦公式，这可能需要多步才能完成，因而会有点繁琐；第三种是寻找最简洁的特殊方法（这需要一定的解题经验积累），本解答就采用这种方法：利用角平分线的分割定理来求解。

3. 具体步骤：

   1）聚焦于三角形CDB，据题意可知CF是顶角DCB的角平分线。

   2）AE=DE=3×3/5=9/5

   3）根据对称性，CD=AC=3, 所求的B'F=BF

   4）设BF=x,则FD=5-x-9/5-9/5=7/5-x

   5)在三角形CDB中，利用角平分线分割定理，可列出如下方程：

   (7/5-x)/x=CD/BC=3/4

   解此方程得：x=4/5

4. 故所求B'F=4/5

Answer 2

　　考点：翻折变换（折叠问题）．.
　　分析：首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF= ，ED=AE ，从而求得B′D=1，DF= ，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．
　　解答：解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
　　∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
　　∵∠ACB=90°，
　　∴∠ECF=45°，
　　∴△ECF是等腰直角三角形，
　　∴EF=CE，∠EFC=45°，
　　∴∠BFC=∠B′FC=135°，
　　∴∠B′FD=90°，
　　∵S△ABC= AC•BC= AB•CE，
　　∴AC•BC=AB•CE，
　　∵根据勾股定理求得AB=5，
　　∴CE= ，
　　∴EF= ，ED=AE= = ，
　　∴DF=EF﹣ED= ，
　　∴B′F= = ．
　　故选B．点评：
　　此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键．

Answer 3

∵∠ACB＝90°、AC＝3、BC＝4，∴AB＝5。
依题意，可知：E是AD的中点，且CE⊥AD、CD＝AC＝3。

由射影定理，有：AB·AE＝AC^2，∴5AE＝3^2，∴AE＝9/5，∴AD＝18/5，∴BD＝7/5。
－－－－－－
依题意，有：B′C＝BC＝4，∴B′D＝B′C－CD＝4－3＝1。
显然有：cos∠ADC＝DE/CD＝AE/AC＝（9/5）/3＝3/5。

设B′F＝x，则BF＝x，∴DF＝BD－BF＝7/5－x。
由余弦定理，有：B′F^2＝DF^2＋B′D^2－2DF·B′D·cos∠B′DF，
∴x^2＝（7/5－x）^2＋1－2（7/5－x）cos∠ADC，
∴x^2－（7/5－x）^2＝1－（6/5）（7/5－x），∴（7/5）（2x－7/5）＝1－42/25＋6x/5，
∴2x－7/5＝5/7－6/5＋6x/7，∴8x/7＝5/7＋1/5，∴8x＝5＋7/5＝32/5，∴x＝4/5，
∴B′F＝4/5，∴本题的答案是B。

Answer 4

CE⊥AB，
CE=12/5，AE=9/5，BE=16/5
DE=9/5, BD=7/5
CF平分∠BCD
DF：BF=CD：BC
CD=AC=3
BF=4/5，DF=3/5
B'F=BF=4/5

Answer 5