Question

【高中数学】【裂项相消】an=(n+2)/[n(n+1)*2^(n+1)],Tn是an的前n项和，求证：Tn<1/2 怎么看出此式可裂项

答案里方法是裂项相消，bn=1/(n*2^n)-1/(n+1)*2^(n+1)
我的问题是，如何看出这个式子是用裂项相消做？是否可以放缩做？
打错了bn就是an

Answer 1

看了下，这个题目裂项到这个程度难度是挺大的。和lz想法差不多，准备放缩试一试。
证明：我用C(n,m)表示组合数下标为m，上标为n）
容易证明 n>=2时， 2^n=(1+1)^n
=C(0，n)+C(1,n)+C(2,n)+.....+C(n,n)>= 2+n
即 n+2 <= 1/2 * 2^(n+1)
故 (n+2)/2^(n+1) <= 1/2
∴ an= (n+2)/[n(n+1)*2^(n+1)]
< = 1/2 */[n(n+1)]
=1/2 *[1/n - 1/(n+1)] (n>=2)
∴ an前n项和 Tn =a1+a2+ .......+an
<=1/2(1-1/2)+ 1/2(1/2-1/3)+1/2(1/3- 1/4)+......+1/2[1/n- 1/(n+1)](裂项求和楼主自己写出来，注意是从a2开始，不是a1）
= 1/2[1 -1/(n+1]
=1/2 -1/(2n+2)
<1/2 ①（n>=2)
又∵ T1=a1= 3/8 <1/2 ②
综合①②可知，原命题得证。

恩 是出了点问题，那还是得把上面那个地方改下

追问

哇谢谢！
不过 3/8 + 1/2[1/2 -1/(n+1] =1/2 -1/(2n+2) 这步是不是错了呢

Answer 2

式子的模式 是 等差数列*等比数列的 用裂项相消法做

追问

你那个难道不是错位相减？！