Question

经过点(1,2分之1),渐近线与圆(x减3)的平方加y的平方等于1相切的双曲线的标准方程为

经过点(1,2分之1),渐近线与圆(x减3)的平方加y的平方等于1相切的双曲线的标准方程为

Answer 1

(x-3)²+y²=1
圆心(3，0)
半径r=1
令双曲线与x轴夹角为α
∵与圆相切
∴sinα=1/3
tanα=sinα/✔(1-sin²α)=1/(2✔2)
∴双曲线渐近线的斜率k=±1/(2✔2)

即a/b=2✔2
令a=2✔2t，b=t
则双曲线方程为
x²/(8t²)-y²/t²=1
或
y²/t²-x²/(8t²)=1

将点(1，1/2)的坐标值代入
x²/(8t²)-y²/t²=1
得：
1/(8t²)-1/(4t²)=1
无解

将点(1，1/2)的坐标值代入
y²/t²-x²/(8t²)=1
得：
1/(4t²)-1/(8t²)=1
解得t²=1/8
∴双曲线标准方程为：
8y²-x²=1