Question

已知a、b、c为正数，求证：[(b+c-a)/a]+[(c+a-b)/b]+[(a+b-c)/c]≥3

Answer 1

证明：
∵a、b、c为正数
∴[(b＋c－a)/a]＋[(c＋a－b)/b]＋[(a＋b－c)/c]
＝(b/a)＋(c/a)＋(c/b)＋(a/b)＋(a/c)＋(b/c)－3
＝(b/a＋a/b)＋(c/a＋a/c)＋(c/b＋b/c)－3
≥2√(b/a)•(a/b) ＋2√(c/a)•(a/c) ＋2√(c/b)•(b/c) －3＝3
当且仅当b/a＝a/b，c/a＝a/c，c/b＝b/c时
即a＝b＝c时等号成立．

Answer 2

第一步通分：
证明：﹙b²c+c²b-abc+a²c+c²b-abc+a²b+b²a-abc﹚÷abc
﹙ a²c-2abc+b²c+abc+a²b-2abc+c²b+abc+b²a-2abc+c²a+abc﹚÷abc
[c﹙a-b﹚²+b﹙a-c﹚²+a﹙b-c﹚²+3abc]÷abc
﹙a-b﹚²／ab +﹙a-c﹚²／ac+﹙b-a﹚²／bc+3
∵a、b、c为正数
∴﹙a-b﹚²≥0 ﹙a-c﹚²≥0 ﹙b-c﹚²≥0
即﹙a-b﹚²／ab≥0 ﹙a-c﹚²／ac≥0 ﹙b-a﹚²／bc≥0
﹙a-b﹚²／ab +﹙a-c﹚²／ac+﹙b-a﹚²／bc+3≥3
即：[(b+c-a)/a]+[(c+a-b)/b]+[(a+b-c)/c]≥3

Answer 3

原式=b/a+c/a-1+c/b+a/b-1+a/c+b/c-1
原理是b/a+a/b>=2倍根号下（b/a）*（a/b）=2
把上式整理一下>=6-3=3
就可以啦