Question

已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且 a1=3,a2=5,则

lim （1/a2-a1 + 1/ a3-a2 +.......+ 1/ a（n+1）-an）的值为 （ ）
A 2 B 1 C 3/2 D 1/2
求解释，谢谢

Answer 1

已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且 a1=3,a2=5
可以得到该等差数列的公差d：
d＝log2(a2-1)-log2(a1-1)＝log2(5-1)-log2(3-1)＝log2(4)-log2(2)=2-1=1
所以该等差数列的通项式：log2(an-1)＝log2(a1-1)+(n-1)d＝log2(3-1)+(n-1)*1=n
即：log2(an-1)＝n

因此，可得：an-1＝2^n
即 an＝2^n + 1 （注意：2^n 表示2的n次方）

下面来看看这个数列：
1/(a2-a1) , 1/ (a3-a2) ,......., 1/( a（n+1）-an）

第n项是： 1/( a（n+1）-an）
由于： an＝雀森滚2^n + 1
那么顷余： 1/( a（n+1）-an）＝1/((2^(n+1)+1)-(2^n+1)）＝1/(2^(n+1)-2^n）＝1/(2^n）＝(1/2）^n
即该数列为等比数列，通项式为 (1/2）^n
第一项为 (1/2）^1＝1/2
公比为 (1/2）^(n+1) / (1/2）^n ＝1/2
所以，该数列的和S＝(1/2)×(1-(1/2)^n)/(1-(1/2))＝1-1/2^n

当n→∞时，1/2^n→0 ，1-1/2^n →1

所以，lim （1/a2-a1 + 1/ a3-a2 +.......+ 1/春茄 a（n+1）-an）＝lim（1-1/2^n）→ 1

因此，选 B 1

Answer 2

B,值橡竖洞纤贺为梁枯1

Answer 3

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