Question

设abc为三角形三边，求证方程a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0没有实数根

Answer 1

a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0
判别式=(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²)²-(2ab)²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因两边和大于第三边
所以a+b+c>0, a+b-c>0, a-b+c>0,a-b-c<0
所以判别式<0
所以方程没有实数根

Answer 2

方程a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0的判别式
=（a²+b²-c²)^2-4a²b²
=(2abcosC)^2-4a²b² （根据余弦定理）
=4a²b²[(cosC)^2-1]<0
=>方程a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0没有实数根.

Answer 3

求△，让△<0即可。现求如下：△=(a²+b²-c²)^2-4 a²b²=（ a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-c²-2ab）=（（a+b）^2- c²）（（a-b）^2- c²）
因为三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。有a+b>c和a-b<c或者b-a<c.
那么（a+b）^2- c²>0; （a-b）^2- c²<0;那么△<0，得证。