Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC的平行线MN分别交DA,DC的延长线于点M,N，交AB,BC于点P,Q。求证PM=QN

Answer 1

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∠BCD=∠BAD
∴∠MAP=∠QCN，AMB=∠BQP=∠CQN
∵AC∥MN
∴四边形AMQC是平行四边形
∴AM=CQ
∴△AMP≌△CQN
∴PM=QN

Answer 2

解：（1）图中平行四边形有3个：平行四边形ABCD、平行四边形AMQC、平行四边形APNC
①四边形ABCD是平行四边形是已知
②四边形APNC是平行四边形的理由：
∵AC‖MN AB‖CD
∴ ∠MPA＝∠PAC ∠MPA＝∠N
∴∠PAC＝∠N
∵AB‖CD
∴ ∠PAC+∠ACN＝180度 ∠N+∠APN＝180度
∴∠ACN＝∠APN
∴四边形APNC是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

③四边形AMQC是平行四边形的理由：
∵AC‖MN AD‖BC
∴ ∠M＝∠DAC ∠DAC＝∠ACQ
∴∠M＝∠ACQ
∵AC‖MN
∴ ∠M+∠MAC＝180度 ∠MQC+∠ACQ＝180度
∴∠MAC＝∠MQC
∴四边形AMQC是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
（2）MP=QN
理由：∵AD‖BC AB‖CD
∴ ∠M＝∠CQN ∠APM＝∠N
又∵四边形APNC是平行四边形
∴AP=CN
∴△APM≌△CNQ（AAS）
∴MP=QN

Answer 3

解：（1）平行四边形AMQC、平行四边形APNC．
∵由平行四边形ABCD得：
MD∥BC，AB∥ND，
再由MN∥AC得：
MQ∥AC，AM∥QC，PN∥AC，AP∥CN，
∴得平行四边形AMQC、平行四边形APNC．

（2）MP=QN．理由如下：
∵由平行四边形AMQC知MQ=AC，
由平行四边形APNC知PN=AC，
∴MQ=PN，
即 MP+PQ=PQ+QN，
∴MP=QN．

Answer 4

∵四边形ABCD是平行四边形，
AC∥MN
∴AD∥BC，∠BCD=∠BAD
∴∠MAP=∠QCN，∠AMQ=∠BQP=∠CQN，四边形AMQC是平行四边形
∴AM=CQ
∴△AMP≌△CQN
∴PM=QN

Answer 5

因为ABCD是平行四边形 MD∥BC AB∥CD
所以∠NQC=∠M ∠QCN=∠D=∠MAP
MA＝QC　（这一步是因为MAQC是平行四边形）
所以△APM≌△CNQ
所以QN＝MP