Question

如图,抛物线y=-1/2x^2+5/2x-2与x轴交于a、b与y轴相交于点c,过点c作cd//x轴，交抛物线点d

（1）求梯形abcd的面积
（2）若梯形acdb的对角线ad/bc交于点额，求点e的坐标，并求经过a、b、e三点的抛物线的解析式
（3）点p是直线dc上一点，且△pac与△abc相似，求符合条件的p点坐标

Answer 1

解：（1） y=-12x2+52x-2，
当y=o时，- 12x2+ 52x-2=0，
解得：x1=1，，x2=4，
当x=0时，y=-2，
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
∵CD∥x轴，
∴D点的纵坐标也是-2，
把y=-2代入 y=-12x2+52x-2得：
- 12x2+ 52x-2=-2，
解得：x3=0，x4=5，
D点的坐标是：（5，-2），
S梯形ACDB= 12×[（4-1）+5]×|-2|，
=8．
所以梯形ABCD的面积是8．

（2）由抛物线的对称性有 xE=52，
过E作EN⊥AB于N， ENOC=BEBC=ABAB+CD=38，
EN=34，
yE=-34，
∴ E(52，-34)，
设：经过A、B、E三点的抛物线的解析式为：y=a (x-52)2- 34，
把A（1，0）代入解得：a= 13，
所以经过A、B、E三点的抛物线的解析是： y=13(x-52)2-34．

（3）当点P在C的左侧，由题意有∠PCA=∠BAC，
若 ACPC=ACAB，即 5PC=53时，△PAC∽△BAC；此时CP=3，P（-3，-2）；
若 ACPC=ABAC，即 5PC=35时，△PAC∽△ABC；此时CP= 53，P（- 53，-2）．
当点P在C的右侧，由题意有∠ACP≠∠ABC≠∠ACB≠∠CAB，不存在．
所以符合条件的P点坐标是P（-3，-2）和P（- 53，-2）．