Question

关于凑微分的问题

xydz+xzdy+yzdx我知道这个最后凑出来是d(xyz),我有个想法是例如xydz,由于它是对dz求解所以xy看成常量,最后写成d(xyz),那么同理可得其他的都是d(xyz),最后个相加是d(3xyz),跟答案不一样,我想知道我错在哪里,谢谢~

Answer 1

错在把xy当成常数，实际上隐含了一个通用变量，比如我设为t。实质上xyz都是t的函数，所以它们之间是存在隐藏的函数关系，所以不能当做常数。既然这里的dz dx dy表示的就是z x y对t求导的意思，如果它们并非函数，怎么能求导？
注意类似情况下，除非明确告诉你变量之间没有关系或者告诉你某个量是常量，否则不能当成常量来凑。 简便的一个检验方法是看看你凑的微分能不能算回来，比如你对3xyz求全微分，它等于
3xydz+3xzdy+3yzdx，明显不等于xydz+xzdy+yzdx。
楼下要求学至精的话课本也应该看清楚啊。数学不会在同一个问题出现一个量既是变量又是常量的情形。f(xyz)本身就是R1到R1的映射，f(x,y,z)才是R3到R1的。而且这个t的定义不仅是在常微分和偏微分，即使是在概率论和高数里面也是很常见的吧？比如一些形式的常微分参量解，形如f(x,y,x')=0或者f(x',y',x)=0的方程就隐含了x=f(t)的信息。或者说概率论里面某随即过程的概率密度
z=f(x(t),y(t))。这不都是例子吗？
假设t不存在的话我们的黎曼积分就会有硬伤，比如f(x)dx=g(y)dy，t不存在的话你凭什么能两边同时积分？不定积分的话积分区间怎么办？只有认可了t存在，即使是不知道它什么样，这个式子才有意义，因为两端同时取对t的积分，左端是∫f(x)x'(t)dt=f(x)dx，右端是∫g(y)y'(t)dt=∫g(y)dy，积分区间是t0到t1的时候，左端积分限就是x(t0)到x(t1)，右端类似。另外楼主做错的过程第二步没有任何问题，在凑恰当方程的过程中这一步凑微分是很常见的。

Answer 2

首先 xydz,能把xy看成常量计算出的d(xyz)里面z是变数（变量），x，y都是固定的数值
同理xzdy做出的d(xyz)里面y是变数，z就是固定数值了（此z非彼z，z不再是变数）

所以虽然同使用字母z，但两个z不是同一个种类，不能简单做加法=2z。好比向量a+数字a能=2a吗？

更何况都是变数本身就不能看成常数 xydz+xzdy+yzdx 是三个变数一个整体

p.s.本着求学致精的精神提一个问题，如果x,y,z总是某一个通用变量t的函数，那多元函数f(xyz)该怎么理解？（是一个映射，把R3映到R1还是一个映射，把R1映到R1？）设x,y,z之间没有任何函数关系的话，依然可以计算df。xyz当中的x,y,z并不一定总是互成隐函数的吧？所以“，实际上隐含了一个通用变量，比如我设为t。实质上xyz都是t的函数”是怎么成立的？ 所以我认为你是把隐函数求偏导求全微分和乘积的微分两个概念搞混淆了。