Question

在{an}中,a1=1,a(n+1)=an+2^n

1.在{an}中,a1=1,a(n+1)=an+2^n
2.在{an}中,a(n+1)=((n+2)/n)an,a1=1
3.a1=3,an+1=2an+1
求an的通项公式
需要过程

Answer 1

第一题：不难发现a(n+1)-a1=（a2-a1）+(a3-a2)+(a4-a3)+……+(a(n+1)-an)=2^1+2^2+……+2^n。所以不难得到an=2^n-1
第二题：第三题：有时间慢慢做 原理差不多 就是 加加减减的问题 关键要熟悉公式

Answer 2

a(n+1)=an+2^n
an=a(n-1)+2^(n-1)
……
a2=a1+2^1
将等式两边分别相加，再左右抵消，有a(n+1)=1+2^1+2^2+……+2^n,再用公式。

Answer 3

1.a（n+1)-an=2^n
当n≥2时
a2-a1=2;
a3-a2=2^2;
a4-a3=2^3
.................
an-a(n-1)=2^(n-1)
相加得an-a1=2+2^2+2^3+......+2^(n-1)
代入a1得an=2^n-1
当n=1时代入an满足
所以an的通项公式为an=2^n-1
2.转化成 a(n+1)/an=(n+2)/n
当n≥2时
a2/a1=3
a3/a2=4/2
a4/a3=5/3
...............
an/a(n-1)=(n+1)/(n-1)
相乘得an/a1=n(n+1)/2
代入a1得an=n(n+1)/2
当n=1时代入an满足
所以an的通项公式为an=n(n+1)/2
3.第三题是a(n+1)=2an+1么？
先设一个X
则可转化为a(n+1)+X=2（an+X)
即a(n+1)=2an+X
其中X要等于题中的1
所以X=1
所以a(n+1)+1=2(an+1)
即[a(n+1)+1]/(an+1）=2
所以{a(n+1)+1}的公比为2
所以{a(n+1)+1}的通项公式为{a(n+1)+1} =2^(n+2）
当n≥2时将n=n-1代入{a(n+1)+1} =2^(n+2）
an=2^(n+1)-1
当n=1时满足an
所以an的通项公式为an=2^(n+1)-1