Question

一个数学分析的证明题

设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f`(0)=0 ,
证明:在（-1，1）内至少存在一点ξ, 使得f³(ξ)=3（次数3表示是三阶导数，而不是3次方）

Answer 1

注意到f'(0)=0, 由泰勒公式得
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2+f'''(c)x³/6=f(0)+f''(0)x²/2+f'''(c)x³/6, 其中c是介于0与x之间的某数
上式中令x=-1和1得
f(-1)=f(0)+f''(0)/2-f'''(c1)/6, 即
0=f(0)+f''(0)/2-f'''(c1)/6 ①
f(1)=f(0)+f''(0)/2+f'''(c2)/6, 即
1=f(0)+f''(0)/2+f'''(c2)/6 ②
其中c1介于-1与0之间, c2介于0与1之间. ②式减去①式得
[f'''(c2)+f'''(c1)]/6=1, 即
f'''(c2)+f'''(c1)=6, 即f'''(c2)-3=-[f'''(c1)-3]
这表明[f'''(c1)-3]×[f'''(c2)-3]<=0, 由导函数的介值性知, 在c1与c2之间, 从而也在(-1,1)内至少存在一点ξ, 使得f'''(ξ)-3=0, 即f'''(ξ)=3