如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,

请回答下列问题,并说明理由。(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?... 请回答下列问题,并说明理由。
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?
(4)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?
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醉卧松山菩萨心8000
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1)在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB,∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE,DE=AC。
△ACF是等边三角形,所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC,EF=AB
因为△ABD是等边三角形,所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等,是平行四边形

(2)如果平行四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°,四边形ADEF是矩形

(3)当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形
理由:由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)

(4)∠DAF=240°-∠BAC
当∠BAC=60°时,∠DAF=180°
,此时四边形ADEF不存在
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2011-10-25 22:12 hzsog | 三级
如图,分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF.请回答下列问题:
(1)说明四边形ADEF是什么四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?
(4)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是正方形?
(5)当△ABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?
解答:解:(1)四边形ADEF是平行四边形.
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD,
∴BE=BC,BD=BA.
又∵∠DBE=60o-∠ABE,∠ABC=60o-∠ABE,
∴∠DBE=∠ABC.
∴△BDE≌△BCA.
∴DE=AC.
∵在等边三角形ACF中,AC=AF,
∴DE=AF.
同理DA=EF.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)当∠BAC=150o时,四边形ADEF是矩形.

(3)当AB=AC,或∠ABC=∠ACB=15o时,四边形ADEF是菱形.

(4)当∠BAC=150o且AB=AC,或∠ABC=∠ACB=15o时,四边形ADEF是正方形.

(5)当∠BAC=60o时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.
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2011-10-27 18:56 热心网友
问题①:四边形ADEF是平行四边形
理由:∵△ABD和△EAC都是等边三角形
∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC
∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC
∴△DBE≌△ABC
∴DE=AC
∵△ACF是等边三角形,AC=AF
∴DE=AF
同理:EF=AD
∴四边形ADEF是平行四边形
问题②:当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形。
理由:∠BAC=150°,∠BAD=∠CAF=60°得∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是矩形
问题③:当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形
理由:由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)
问题④:当△ABC满足∠BAC=150°,AB=AC时,四边形ADEF是正方形
理由:由问题②知当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;由AB=AC,所以四边形ADEF是正方形
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2011-10-27 20:17 热心网友
考点:正方形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定.专题:探究型.分析:根据等边三角形的性质及平行四边形的判定(两组对边分别相等的四边形是平行边形)来证明四边形ADEF是平行四边形,同理可根据各多边形的判定方法来证明.解答:解:(1)四边形ADEF是平行四边形.(1分)
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD,
∴BE=BC,BD=BA.
又∵∠DBE=60o-∠ABE,∠ABC=60o-∠ABE,
∴∠DBE=∠ABC.
∴△BDE≌△BCA.(2分)
∴DE=AC.
∵在等边三角形ACF中,AC=AF,
∴DE=AF.
同理DA=EF.
∴四边形ADEF是平行四边形.(4分)

(2)当∠BAC=150o时,四边形ADEF是矩形.(5分)

(3)当AB=AC,或∠ABC=∠ACB=15o时,四边形ADEF是菱形.(6分)

(4)当∠BAC=150o且AB=AC,或∠ABC=∠ACB=15o时,四边形ADEF是正方形.(7分)

(5)当∠BAC=60o时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.(8分)点评:此题考查了学生对全等三角形,平行四边形,矩形,正方形,菱形的判定方法的理解及运用.
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2011-10-27 21:31 wjz6900 | 二级
解:(1)四边形ADEF是个平行四边形在△ABC和△DBE中,
∵BC=BE,BA=BD,∠DBE=∠ABC(与∠ABE之和都等于60°),
∴△ABC≌△DBE,
∴DE=AC,
在△ABC和△FEC中,
∵BC=EC,CA=CF,∠ACB=∠FCE(都为60°角与=∠ACE之和),
∴△ABC≌△FEC,
∴FE=AB,
∴DE=AC=AF,FE=AB=AD,
∴四边形ADEF是个平行四边形;

(2)当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时,即AB=AC时,
由第(1)题中可知四边形ADEF的四边都相等,此时四边形ADEF是菱形;

(3)当△ABC为等边三角形时,即AB=AC=BC时,四边形ADEF中的A点与E点重合,
此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.
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2011-10-29 21:39 纯黑·耳钉 | 二级
∵△ABD,△EBC都是等边三角形.
∴AD=BD=AB,BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.
∴∠DBE=∠ABC.
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC,
∴△DBE≌△ABC.
∴DE=AC.
又∵△ACF是等边三角形,
∴AC=AF.
∴DE=AF.
同理可证:AD=EF,
∴四边形ADEF平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是矩形,
∴∠FAD=9∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.
∴∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
(3)当∠BAC=60°时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.0°.
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2011-10-30 10:58 热心网友
(1)在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB,∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE,DE=AC。
△ACF是等边三角形,所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC,EF=AB
因为△ABD是等边三角形,所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等,是平行四边形

(2)如果平行四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°,四边形ADEF是矩形

(3)当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形
理由:由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)

(4)∠DAF=240°-∠BAC
当∠BAC=60°时,∠DAF=180°
D、A、F在一条直线上,此时四边形ADEF
水鱼不如无不知5426
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考点:正方形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定.专题:探究型.分析:根据等边三角形的性质及平行四边形的判定(两组对边分别相等的四边形是平行边形)来证明四边形ADEF是平行四边形,同理可根据各多边形的判定方法来证明.解答:解:(1)四边形ADEF是平行四边形.(1分)
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD,
∴BE=BC,BD=BA.
又∵∠DBE=60o-∠ABE,∠ABC=60o-∠ABE,
∴∠DBE=∠ABC.
∴△BDE≌△BCA.(2分)
∴DE=AC.
∵在等边三角形ACF中,AC=AF,
∴DE=AF.
同理DA=EF.
∴四边形ADEF是平行四边形.(4分)

(2)当∠BAC=150o时,四边形ADEF是矩形.(5分)

(3)当AB=AC,或∠ABC=∠ACB=15o时,四边形ADEF是菱形.(6分)

(4)当∠BAC=150o且AB=AC,或∠ABC=∠ACB=15o时,四边形ADEF是正方形.(7分)

(5)当∠BAC=60o时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.(8分)点评:此题考查了学生对全等三角形,平行四边形,矩形,正方形,菱形的判定方法的理解及运用.
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qsmm
2011-10-19 · TA获得超过267万个赞
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(1)在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB,∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE,DE=AC。
△ACF是等边三角形,所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC,EF=AB
因为△ABD是等边三角形,所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等,是平行四边形

(2)如果平行四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°,四边形ADEF是矩形

(3)当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形
理由:由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)

(4)∠DAF=240°-∠BAC
当∠BAC=60°时,∠DAF=180°
D、A、F在一条直线上,此时四边形ADEF不存在
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王者若成风5130
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问题①:四边形ADEF是平行四边形
理由:∵△ABD和△EAC都是等边三角形
∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC
∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC
∴△DBE≌△ABC
∴DE=AC
∵△ACF是等边三角形,AC=AF
∴DE=AF
同理:EF=AD
∴四边形ADEF是平行四边形
问题②:当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形。
理由:∠BAC=150°,∠BAD=∠CAF=60°得∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是矩形
问题③:当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形
理由:由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)
问题④:当△ABC满足∠BAC=150°,AB=AC时,四边形ADEF是正方形
理由:由问题②知当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;由AB=AC,所以四边形ADEF是正方形
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wjz6900
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解:(1)四边形ADEF是个平行四边形在△ABC和△DBE中,
∵BC=BE,BA=BD,∠DBE=∠ABC(与∠ABE之和都等于60°),
∴△ABC≌△DBE,
∴DE=AC,
在△ABC和△FEC中,
∵BC=EC,CA=CF,∠ACB=∠FCE(都为60°角与=∠ACE之和),
∴△ABC≌△FEC,
∴FE=AB,
∴DE=AC=AF,FE=AB=AD,
∴四边形ADEF是个平行四边形;

(2)当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时,即AB=AC时,
由第(1)题中可知四边形ADEF的四边都相等,此时四边形ADEF是菱形;

(3)当△ABC为等边三角形时,即AB=AC=BC时,四边形ADEF中的A点与E点重合,
此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.
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